引言

随着电磁阀技术的迅速发展，电磁阀在航空、航天、汽车、船舶等高科技核心领域得到了广泛的应用。本文研究的是应用于柴油机电控单体泵燃油系统的高速电磁阀，其动态响应直接影响喷油的控制精度及灵活控制规律。提高高速电磁阀动态响应速度，将能实现更精准的喷油精度及更灵活的喷油规律，从而降低柴油机排放，提高其经济性。

国内外学者关于电磁阀的研究主要集中在模型的建立，动静态关键参数的分析，驱动电路的优化。陶润等，Huber  B等，Chung  N 等利用气隙、电流与静态电磁力的关系MAP建立了电磁阀的动态仿真模型；李丕茂等，Melgoza E等基于电磁阀静态气隙、电流分别与磁链和电磁力的关系构建了其动态仿真模型；Ertl M等基于有限元方法构建了机械电磁耦合的电磁阀瞬态模型；相关学者将电磁软件 Ansoft  Maxwell 计算得到的气隙、电流与磁链、电磁力的数据以插值表格的形式导入系统仿真软件AMESim中，实现了电磁阀电磁回路、机械部件和液压系统之间耦合，提高了电磁阀仿真的精度；郝守刚等[在恒压驱动下对电磁阀动态影响进行了分析；范立云等对影响电磁阀电磁力的关键因素及其参数间的交互作用进行了分析；Lu Haifeng等[17]对不同的驱动电路形式进行了分析，并应用预激励和反向激励的驱动形式加快电磁阀响应；郭树满等，陈礼勇等对电磁阀驱动方式及续流回路进行了分析，并分别设计了基于自举电路的驱动电路和双电源双边驱动电路，提高了其保持阶段电流的稳定性、关闭阶段的响应特性和控制精度。

上述研究为电磁阀的设计与优化提供了相应指导，但高速电磁阀是一个多物理场耦合的复杂工作系统，存在场内及场间多参数交互作用现象。以上研究只针对单场或局部耦合场进行优化，优化效果及效率较低，缺乏高效的含各场关键优化参数的高速电磁阀耦合模型。近似模型为此提供了良好的解决方法，它是通过近似方法对离散数据进行拟合或插值构造的零维数学模型，计算效率高。采用近似模型方法构建出高速电磁阀各场关键参数的近似模型，若其精度满足要求，则可替代各场的 CAE 分析或相应试验，实现对各物理场的集成，解决了常规 CAE（computer aided engineering，计算机辅助工程）场耦合困难及计算量大且繁琐问题。

近似模型建立主要包括两部分内容：

1）通过试验设计产生模型训练样本点；

2）利用近似方法对训练样本点进行拟合或插值。

为构建高速电磁阀含各场关键优化参数的零维近似耦合模型，实现其性能高效预测及优化，本文从高速电磁阀关键的磁场子系统出发，首先创建并验证了高速电磁阀电磁力有限元模型，然后针对典型的试验设计方法及近似方法分别构造的电磁力近似模型进行了对比，以期得到预测精度最高的电磁力近似模型，为高速电磁阀多物理场零维近似耦合模型的建立及其优化提供参考。

1  高速电磁阀结构及原理

电控单体泵高速电磁阀的基本结构如图1所示，其为一两位三通阀，主要包括铁芯、线圈、衔铁、控制阀杆、衔铁复位弹簧、堵头、接线柱等零部件。通过对电磁阀线圈通断电的控制，进而控制其电磁力的产生与消失，实现高低压油路的切换，控制喷油；喷油量和喷油定时则通过电磁阀闭合时间和闭合时刻来调节。

图 1  高速电磁阀结构示意图

Fig.1   Schematic of high-speed solenoid valve

2  电磁阀电磁力有限元计算模型

由于所研究电磁阀为非轴对称结构，为了保证计算精度，在Ansoft  Maxwell专业电磁仿真环境中采取三维建模分析。同时对模型进行了相应简化，忽略电磁阀中非软磁导磁结构，只针对其衔铁、线圈、铁芯 3个关键结构进行建模，可提高其计算效率但又不会降低其计算精度。整个电磁阀电磁力有限元计算模型如图 2所示，采用自适应网格剖分进行求解。模型的精度在文献已得到验证，其不同工作气隙及驱动电流下电磁力最大误差为 9%（如图3 所示）。

图 2  高速电磁阀电磁力有限元计算模型

Fig.2   Electromagnetic force finite element numeration model ofhigh-speed solenoid valve

图 3  电磁力试验值与仿真值的相对误差

Fig.3   Relative errors of electromagnetic force’s experimental andsimulated results

3试验设计

本文主要采用典型的中心复合设计和最优拉丁超立方设计（optimal latin hypercube design，OLH），对设计空间分别进行采样，另外应用 sobol 随机试验设计产生测试样本点对构建的近似模型进行验证。

3.1  中心复合设计

中心复合设计一般由有n_f个试验的 2n析因设计或分辨度为V的分式析因设计，2n个星点或轴向点以及nc个中心点组成。图 4a 是 n为 2的中心复合设计，中心点到因子高低水平的距离为1（变量以规范化单位表示），星点或轴向点到中心点的距离为α。它另有2种变异形式，一种是α为1时的面中心复合设计（central  compositefaced-centered design，CCF，图4b），它的星点或轴向点位于正方形边长中心；另一种是除了星点或轴向点位于正方形边长中心外，析因设计或分式析因设计点落在设计区域的内部，叫做嵌套中心复合设计（central compositeinscribed design，CCI，图4c）。因本文只在参数范围内研究其预测模型，故采用其变异形式进行试验设计。

图 4  中心复合设计及其变异形式

Fig.4   Central composite design and its variant forms

3.2  最优拉丁超立方设计

最优拉丁超立方设计是在拉丁超立方设计的基础上，运用一定的优化算法使得样本点尽可能的均匀分布在整个设计空间中，具有更好的空间填充性和均衡性，本文采用的优化准则为极大极小距离准则（maximindistance criterion）[24]。图 5a、图5b 分别是普通拉丁超立方设计、最优拉丁超立方设计样本点的分布情况，易知最优拉丁超立方设计样本点具有更好的均匀分布性。

图 5  拉丁超立方设计

Fig.5   Latin hypercube design

4  近似方法

近似模型主要通过拟合或插值的方法来构造，常见的且工程广泛应用的模型有多项式响应面模型（polynomialresponse  surface  model，RSM）、Kriging 模型（Krigingmodel，KR）、径向基函数模型（radial  basis  function，RBF）等。

4.1  多项式响应面模型

响应面方法最早由统计学家 Box 和Wilson 提出，主要采用多项式函数来近似真实的物理模型或函数，其中二次多项式响应面模型应用最广，其一般形式如下：

  （1）

式中：x为设计变量；n为设计变量个数；ˆy为预测响应；x_i、x_j为第i、j个设计变量；α₀为常数项；αi为第i项一次项系数α_ii为第i项纯二次项系数；α_ij为混合二次项系数；φi(x)为基函数；k为基函数个数，大小为(n+1)(n+2)/2。未知系数A=[α₀,α₁…α_k]T利用最小二乘法求取。

4.2  Kriging模型

Kriging 模型[26]是一种半参数化的无偏最优估计插值方法，它由全局模型和局部偏差两部分构成，其一般形式如下：

（2）

式中：f(x)为确定的回归函数；β为回归系数；βf(x)代表设计空间的一个全局近似模型；z(x)为一均值为0，方差为σ²的随机函数。

4.3  径向基函数模型

径向基函数ˆy(x)通过引入欧氏距离，把一个多维空间中的预测问题转化为以欧氏距离为自变量的一维问题，一般形式如下：

（3）

式中：m为总样本点数；‖x−xj‖为未知点x与样本点xj间的欧氏距离；φ(r)为确定的基函数；c_j为权系数。

5  电磁力近似模型的构建及分析

本文从电磁阀关键的磁场子系统出发，综合选取了 6个电磁阀关键参数，分别是2个场耦合参数（工作气隙和驱动电流），4个结构优化参数（线圈匝数、副磁极半径、衔铁厚度和衔铁半径），各参数取值范围如表 1所示。分别采用面中心复合设计、嵌套中心复合设计以及最优拉丁超立方设计进行采样，其中最优拉丁超立方设计又分别进行了样本点数为k（k为 28）、1.5k、2k、2.5k的采样，样本点响应值电磁力由上述高速电磁阀有限元模型计算得出 ，结合上述3种近似方 法 ， 基 于mode FRONTIERF，构建了18 组电磁力近似模型。

表 1  电磁阀关键参数取值范围

Table 1   Value range of solenoid valve key parameters

5.1  近似模型的评价指标

常用的近似模型精度评价指标有复相关系数R²、平均绝对误差（mean absolute error,MAE）、均方根误差（rootmean square error, RMSE）。

式中：R²为复相关系数；MAE 为平均绝对误差；RMSE为均方根误差；为预测值；y_i为真实值；为平均真实值；q为测试样本点总数。

3 种评价指标取值范围均为0～1，其中 R²值越接近1，平均绝对误差MAE、均方根误差RMSE值越接近0，表明模型效果越好，近似精度越高。本文采用 Sobol 随机试验设计产生 50 个测试样本点对构建的近似模型进行验证。

5.2  近似模型精度分析

5.2.1  样本点集大小的影响表2是应用最优拉丁超立方OLH，设计28、42、56、70等大小样本点集，与不同近似方法组合构建的近似模型的精度。由表2可知，随着样本点集的增大，近似模型精度并不是一直增大，样本点集为56、70的近似模型精度并没有比42的得到明显提高，反而56的近似模型精度有所下降。对于样本点集28，3种近似方法近似效果均不理想，因为样本点集28的试验设计，样本点过少，提供的系统信息过少，因此近似精度低。对于大小为42，即1.5k大小的样本点集，3种近似方法均有较好的效果，说明此大小的样本点集能够满足构建近似模型的精度要求，无需进行更大量的样本设计。因此，本文下面的分析，最优拉丁超立方设计样本点集大小均为42。

5.2.2  试验设计的影响

由表2可知，比较CCF和CCI，对于Kriging模型、径向基函数模型，采用CCF试验设计方法比CCI表现出的近似效果明显好，而对于二次多项式响应面模型却相反。由图4可知，CCF试验设计其设计区域边界分布点多，内部样本点少，而CCI恰好相反，设计区域边界分布点少，而内部样本点多，另外CCF是一个三水平试验设计，CCI是五水平的试验设计。因此对于设计区域边界样本点分布相对较多而内部分布较少的样本点集，同时参数水平不宜改变的设计，Kriging模型、径向基函数模型适应性更好，更具有优势。而对于二次多项式响应面模型，参数水平越多，越有利于参数非线性的拟合，因此对于CCI相对于CCF精度更高。OLH与3种近似方法组合构建的近似模型精度均较好，同时相比CCF、CCI，其样本点明显减少。因为OLH是一种多水平的试验设计方法，各参数水平数等于设计样本点数，同时样本点均匀的分布于设计空间，能以较少的样本点数提供设计空间更多的信息，因此OLH模型具有较高的精度，是构建近似模型良好的选择。

5.2.3  近似方法的影响

由表2可知，Kriging模型和径向基函数模型总体的精度和适应性要高于二次多项式响应面模型。因为二次多项式响应面模型对参数水平及样本大小要求比较高，构建二次多项式响应面模型参数水平至少为三水平，且有最低样本点数要求，并且随着变量数的增多，样本点数成二次方的关系增加，所以其在小样本时精度表现的较其他2种模型差，使得其总体精度下降。而Kriging模型和径向基函数模型对样本大小无要求，同时模型本身具有局部估计的优点，因而使得其具有良好的适应性和高精度。

整体对比3种试验设计方法与3种近似方法构建的不同电磁力近似模型，OLH  42与Kriging模型组合其精度最高，近似效果最好。

表2  样本点集大小和试验设计对近似模型精度影响

Table 2   Influences of sample points size and design of experiment on accuracy of approximate models

注：OLH 28 为应用最优拉丁超立方设计28 个样本点集，下同。

Note: OLH 28 defines that using optimal latin hypercube designs 28 sample point set, the same as below.

6  结  论

1）近似模型的精度随着样本点集的增大并非呈现单调递增的关系，过多的样本点可能导致近似模型精度的下降；最优拉丁超立方试验设计与Kriging模型、径向基函数模型具有良好的适应性，构建近似模型可优先考虑。

2）构建高速电磁阀工作气隙、驱动电流、线圈匝数、副磁极半径、衔铁厚度、衔铁半径等关键参数的电磁力近似模型最佳方案是最优拉丁方试验设计与Kriging模型的组合，其中样本点集大小为二次多项式响应面模型所需最少样本点数的1.5倍，模型复相关系数、平均绝对误差、均方根误差值分别为0.97、0.06、0.09。